Как сделать, чтобы поле (в новой вкладке) автоматически заполнялось тем, что мы ввели на странице в первом поле? HTML CSS JavaScript.

Попробуйте реализовать через cookie.

Это решение будет оптимально в Вашем случае, если Вы используете jQuery. Для записи и чтения cookie есть плагин