Как работают матрицы поворота? Почему умножаемая на них матрица не поворачивается? Или я что-то неправильно понимаю?
Я загуглил, матрица поворота на θ градусов имеет вид
Г cosθ -sinθ ‾|
L sinθ cosθ _|
Таким образом матрица поворота на 90 градусов это
Г 0 -1 ‾|
L 1 0 _|
Но почему когда я перемножаю на неё например матрицу
Г 1 2 ‾|
L 4 3 _|
получается не
Г 2 3 ‾|
L 1 4 _| или что-то вроде этого, а
Г 0*1+(-1)*4 _ 0*2+(-1)*3‾| _Г -4 -3 ‾|
L 0 *3 + 1 *1 _ 0 *3 + 1 *2 _| ‾L +1 +2_|?
Я не знаю почти ничего о матрицах, хочу просто узнать как работает матрица поворота, чтобы понять шутку, которую где-то увидел.
МатематикаАлгебра+1
Матрица поворота в двумерном пространстве
В двумерном пространстве поворот можно описать одним углом θ. Положительным углам соответствует вращение против часовой стрелки.
Матрица поворота вектора в декартовой системе координат:
М - это оператор , который действует в пространстве векторов R^2 записанном в виде
х0
у0
Если Вы умножите
x1 = cos(teta)*x0 - sin(teta)*y0
y1 = sin(teta)*x0 + cos(teta)*y0
то вектор {х0,у0} перейдет в {х1,у1} что соответствует вращению против часовой стрелки исходного вектора {х0,у0} .
Если у Вас есть M(alpha) и М(beta), то М(beta)* M(alpha) = М(alpha+beta) то есть М(beta)* M(alpha) будет вращать исходный вектор на alpha+beta против часовой стрелки.
Поворот выполняется путём умножения матрицы поворота на вектор-столбец, описывающий вращаемую точку:
Двумерный случай - единственный нетривиальный случай, когда группа матриц вращения коммутативна, поэтому не имеет значения, в каком порядке выполняются множественные вращения.
Детально группы вращений SO(2) , SO(3) описаны здесь
но это может быть тяжело для понимания и выходит за рамки простого понимания как матрица вращения действует на вектора. Струтура группы интуитивно вполне очевидна для SO(2) , SO(3)
1 эксперт согласен
Если Вы умножите матрицу из группы SO(2) ( прочитайте, что такое группа в алгебре ) на какую либо другую матрицу... Читать дальше