Как происходит усыпление животных? Что они чувствуют?

Зависит от того, как и чем усыплять. Топить котят в речке - тоже усыпление в принципе, но назвать этот метод гуманным довольно сложно.

Животных, которые идут на производство мяса (всякие бычки-коровки-свинки), сначала оглушают мощным разрядом тока, а затем перерезают горло. Считается, что при таком методе убоя животное испытывает минимальное количество стресса и боли. 

Итак, что по поводу медикаментозного усыпления. Тут используется несколько групп препаратов: седативные, анестетики, релаксанты скелетной мускулатуры и антиаритмические препараты. 

Первые две группы - это препараты, используемые для наркоза, поэтому их можно использовать для усыпления без предварительного погружения в состояние наркоза. То есть, животное просто засыпает и не просыпается, никакого особенного дискомфорта не испытывая.  Чаще всего используют пропофол ( в штате Миссури его используют для исполнения смертельных приговоров, кстати). В США для усыпления крупных животных (не идущих на мясо)  используют пентобарбитал (он и для человеческой эвтаназии используется тоже). Ещё в ветеринарии широко используется ксилазин,тоже препарат для наркоза

Далее релаксанты скелетной мускулатуры - это, например, используемый догхантерами дитилин (ещё ими используется изониазид, но это препарат совершенно другой группы и с другим механизмом действия, который вызывает долгую и мучительную смерть, поэтому к гуманной эвтаназии его отнести не получится). Дитилин вызывает расслабление мускулатуры, в том числе дыхательной, в итоге животное пытается вдохнуть, но не может, что причиняет ему страдания. Поэтому по-хорошему этот препарат можно использовать только в комплексе со снотворным и анестетиком.

Антиаритмические препараты - это, например, лидокаин. Укол лидокаина в сердце - один из самых распространенных способов эватаназии мелких домашних животных. Но обычно его применяют, если животное находится в состоянии агонии, так как укол в сердце в принципе считается болезненной процедурой. В итоге, животное умирает в короткий срок от остановки сердца. (Больно ли ему в этот момент? Скорее всего ему уже всё равно, потому что агония сама по себе малоприятное состояние, и тут чем быстрее мучения прекратятся, тем лучше)

Существуют ещё комплексные препараты специально для эвтаназии, например, Т-61. Он состоит из нескольких компонентов, которые угнетают клетки коры головного мозга, местно обезболивают, а затем вызывают паралич дыхательной мускулатуры. Но есть подозрения, что этот препарат вызывает паралич дыхательных органов раньше, чем животное погружается в наркоз, поэтому не рекомендуется использовать этот препарат с целью эвтаназии.