Как научиться решать олимпиадные задачи по математике? Как научиться видеть нестандартные решения?

Вижу несколько важных составных частей успеха.

1. Видеть много примеров применения разных идей, разных успешных решений задач. Это возможно сделать и самостоятельно. Тут и в прочих ответах писали много источников. Мне в своё время помогли книги Как решать нестандартные задачи и Сборник Горбачёва. В более взрослом возрасте книг было уже сильно больше, так как я стал профессиональным олимпиадником, но в 6-7 классах вот так. Очень полезный ресурс www.problems.ru. Там множество задач из разных мест, все с решениями, неплохо для первого приближения расставлена сложность у задач.
2. Общаться с преподавателем, сдавая свои решения. Как правило в первое время такой работы у человека больше 80% придумываемых версий решений, неверны, содержат грубые логические ошибки или наоборот не содержат цельной логической цепочки (Из серии: ``Монголия в Азии, поэтому Волга впадает в Каспийское море''). И здесь критически важно, чтобы был человек, который кропотливо будет объяснять, где ошибка в рассуждениях в том или ином случае. Не покидает ощущение, что таких ``фишек", то есть типовых ошибок, на которые надо обратить внимание, не очень много (в пределах 100) и надо просто написать чудо-пособие с разбором их всех, но её пока нет. После прохождения этого этапа, когда человек уже может самостоятельно критически отнестись к своему тексту, понять, является ли он решением или нет, можно продолжать развиваться самому и достигать уже почти неограниченных высот.
3. Если ваша цель получить диплом на Всероссийской олимпиаде школьников по математике, которая считается самым престижным соревнованием в России, успешное выступление на которой даёт самые ощутимые бонусы, то описанное в пунктах 1 и 2 не даёт даже в сочетании с большим количеством практики не даёт гарантии. Так что видимо в этом случае вам понадобится ещё и талант.  Почему двое учатся в одном классе, делают вроде бы примерно одно и то же, но лет в 14 возможности одного идут чуть ли не экспненциально вверх, а у другого плавно вниз? Природа этого не очень хорошо известна массам. Но если ваша цель сделать решение задач своим хобби, чтобы всегда иметь возможность поломать голову над  интересной и посильной задачей, то пунктов 1 и 2 хватит.