Для того, чтобы в OBS Studio одновременно включать запись и начинать трансляцию, необходимо в Настройки->Горячие клавиши задать одинаковое сочетание клавиш для опций «Запустить трансляцию» и «Начать запись»
Пример такой настройки показан на скриншоте