Треугольник Паскаля - это очень удобная таблица биномиальных коэффициентов, она строится по очень простому и легко запоминающемуся правилу (вы, наверное, его знаете), поэтому треугольник можно быстро восстановить до интересующей вас строчки. А теперь о том, где можно использовать.
1) Компоненты n-й строчки треугольника Паскаля - это коэффициенты при степенях чисел a и b в выражении (a+b)^n = a^n + na^(n-1)b + (цэ из n по 2)a^(n-2)b^2+....
2) Легко восстановить эти самые (цэ из n по m), так как m-е число в n-й строке (если считать с 0) - это искомое число. То есть не нужно считать все эти факториалы.