Если речь о существовании других планет именно Солнечной системы, то тут все просто: пять планет (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер, Сатурн) различимы на ночном небе невооруженным взглядом. Они выглядят как звезды, но их характерной чертой является то, что они, в отличие от всех других звезд, движутся, т.е. как бы блуждают. Греки так и называли их, ἀστέρες πλάνητες (asteres planetes), т.е. "блуждающие звезды", откуда и происходит наше "планеты", т.е., буквально, "блуждающие". Сами эти "блуждающие звезды" были задолго до греков точно известны жителям Междуречья, которые обнаружили их точно таким же образом - обратив внимание на них движение на ночном небе в отличие от всех прочих звездных небесных тел. Всего скорее, о существовании блуждающих звезд вообще было известно практически любой имеющей зачаточную астрономию культуре, поскольку не заметить их, серьезно занимаясь наблюдением за ночным небом, невозможно.
Что касается того, как мы поняли, что другие планеты представляют собой схожие с нашей собственной Землей небесные тела, то это совсем другая история. Мыли об этом высказывались на протяжении античности (Анаксагор, Демокрит, Эпикур), однако на протяжении большей части человеческой истории (вплоть до начала XVI века) главной астрономической теорией оставалась теория Аристотеля, доработанная Птолемеем. Существенной чертой этой теории являлось не только то, что Земля находится в центре Вселенной, но и что она окружена т.н. "лунной гранью" - барьером между "подлунным" (нашим) и "надлунным" (небесным) миром. За лунной гранью, в надлунном мире, по Аристотелю, действуют другие физические законы, чем в подлунном - прежде всего, это выражается в том, что там не существует возникновения, уничтожения и изменения материальных тел. Практически это значит, что все надлунные тела - в частности, планеты, являются вечными и не только неуничтожимыми, но и не способными подвергнутся вообще никакому изменению - идеальными гладкими сферами, вечно движущимися по предзаданным орбитам. Галилей нанес сокрушительный удар по этой теории: с помощью телескопа, который он собрал и стал использовать впервые в истории, он наблюдал реальную поверхность некоторых небесных тел (Луны и планет), которая была далека от идеальной гладкости и более напоминала неровную земную поверхность. Планеты были шарообразны, имели неровную поверхность, а кроме того, как полагал вслед за Коперником Галилей, вращались вокруг Солнца. Всеми теми же свойствами обладала Земля - о ее шарообразности было известно еще Аристотелю, а вращение вокруг Солнца постулировал все тот же Коперник, идеи которого значительно развили Тихо Браге, Кеплер и Галилей. Кроме того, Галилей различил у некоторых Планет (прежде всего, у Юпитера) луны, подобные Луне Земли. Отсюда оставался один разумный вывод - планеты, известные человечеству из его все расширяющихся астрономических наблюдений, и Земля, на которой оно обитает, являются по существу небесными телами одного и того же порядка. Со времен Галилея эта гипотеза являлась ведущей пока не стала и вовсе общепринятой.