Как говорить на английском в британской манере? Я имею в виду акцент, литературные слова и выражения и т.п.

Несколько странный вопрос.

Чтобы общаться в заданной манере, её нужно где-то и у кого-то перенять. Самое очевидное – у носителей этой манеры. Ergo, Вам нужно вращаться в среде, где бы говорили в британской манере. Проще говоря, Вам нужно общаться с британцами в "активном режиме" – обращать внимание на эту манеру и усваивать. Давеча я был горд собой, аки слон, когда заезжий британский профессор из Глазго мне заметил на какую-то мою плоскую шутку, что у меня даже получаются отдельные элементы английского юмора.

Если же активное общение невозможно, старайтесь работать с британским стандартом английского языка: книги, фильмы, сериалы, новости, YouTube и проч. Например, есть неплохой канал Britlish на том же самом YouTube. Его создатель – профессиональный педагог, преподаватель английского языка. Помимо платных курсов, у него есть много занятных видео на отдельные темы по британскому английскому: оскорбления, разговоры о еде, употребление идиом и проч.

Стоит, однако, также иметь в виду, что "манера общения" не существует в отрыве от культуры, а британская культура незнакомцу не понятна. Если говорить о конкретно английской культуре в Соединённом Королевстве, то в ней очень много своеобычных черт и условностей. Об этом я настоятельно рекумендую почитать книгу Кейт Фокс Watching the English.  Она, кстати, переведена на русский, но я советую знакомиться с оригиналом.

Кроме того, стоит помнить, что манера общения различается в разных социальных слоях в Британии, а тамошнее общество – воистину классовое. И в речи эта классовость проявляет себя во всей красе, начиная от прозношения, заканчивая словечками и идиомами.

Если же говорить о произношении, то тут вопрос сложный. В Соединённом Королевстве есть "стандартный" вариант английского –Received Pronunciation (RP)(который, правда, насколько мне известно, нигде не закреплён законодательно, а обладает таким статусом только в силу традиции – ещё одна британская черта). По идее, именно ему обучают в школе как самих британцев, так и иностранцев, обучающихся по британскому стандарту (например, по британским учебникам). Тем не менее, я из раза в раз не устаю повторять ученикам, что жизнь богаче правил и в реальности даже британский английский обладает колоссальным (по меркам русского языка) разнообразием:

https://www.youtube.com/embed/FyyT2jmVPAk?wmode=opaque

И в жизни нам часто приходится сталкиваться с тем, чему в учебниках не учат. Я, например, с огромном трудом понимаю индийский английский и английский афроамериканцев – и не в силу предубеждений, а просто оттого, что мало с ними сталкиваюсь.

Поэтому вопрос, стоит ли учить произношение именно в варианте RP в свете нашей темы не так уж просто решается. С одной стороны, он действительно является неофициальным стандартом, даже если кому-то это не нравится, его понимают почти во всей стране. С другой стороны, только несколько процентов британцев имеют его в качестве родного, а подавляющее большинство понимает его, но само говорит на других говорах. Поэтому я бы рекомендовал учить RP с оглядкой на другие варианты.

Так что, наверное, суммировать можно так:

1) выберите вариант британского английского, который Вам нужен/подходит, и старайтесь учить его, не забывая и про другие варианты;

2) для этого максимально расширьте своё общение с языком и его носителями.

Ну, или третий вариант: оставайтесь жить в Британии.