Как это доказать не обращаясь к великой теореме Ферма?

Известный факт что любой квадрат можно представить в виде суммы нечетных чисел.
Если среди них есть квадрат то получается следующий трюк:
(1+3+5+7) + 9 = 1+3+5+7+ 9  = 25
4² + 3² = 5².
Существует бесконечное множество нечетных квадратов и частичных решений для теоремы Пифагора.

Мне стало интересно рассмотреть это в более общем случае

1+7+19+37+…+3x²-3x+1 =x³
Если среди этих чисел встретится куб то это будет автоматически доказывать неверность великой теоремы ферма из-за существования решения которое я описывал ранее.

Если великая теорема Ферма верна, то

Но было бы здорово доказать это, не апеллируя к великой теореме Ферма.
Сам я после нескольких вечеров не нашел какого-то простого способа.
Знакомые из ВУЗа посоветовали попробовать поработать с круговым методом.
В самых разных чатах по математике никто даже комментария не оставил на эту тему.
Возможно, у Вас появится идея, как это можно доказать.