Начнем с конца. Электроны имеют энергию, в частности обычную кинетическую энергию: они обладают массой и при малых скоростях движения будут иметь школные mv^2/2 , (при больших скоростях - релятивисткая формула). Поскольку электрон обладает зарядом, то во внешнем электрическом поле электрон будет обладать и потенциальной энергией. Кроме этого, энергией обладает и поле, порождаемое самим электроном.
Как могут двигаться не теряя энергию? Ну, например, прямолинейно равномерно в отсутствии других тел. Ничто не мешает электону лететь по инерции как и другим телам. Почему же мы вообще слышали что есть какая-то проблема? А дело в том что в классической электродинамике электрон летящий с ускорением должен излучать ЭМ поле и терять на этом кинетическую энергию. Почему же этого иногда (например в атоме) не происходит? А потому что оказалось, что излучение электормагнитных полей, да и в целом движение элементарных частиц не описывается классической электродинамикой. Надо применять квантовую электродинамику и не будет никаких проблем. В свою очередь уже после построения квантовой электродинамики стало ясно, в каких случаях классическую электродинамику всё же можно использовать как хорошее приближение. Оказалось что можно при больших энергиях элеткрона (точнее при действии много большем чем постоянная планка).