Нет и да. На уровне школьной программы температура кипящей жидкости - не только воды - не меняется. Вода закипает при определенной температуре (зависящей от давления, но определенной в каждом случае) и эта температура не меняется, потому что вся энергия подводимая к воде расходуется на ее кипение.
Чуть за пределами школы все немного сложнее. Дело в том, что само по себе кипение воды это не совсем линейный процесс. Практически в месте образования пузырька вода сперва нагревается до температуры выше температуры кипения, образуется пузырек заполненный паром, на этот фазовый переход тратится энергия и перегретая было вода в этом месте снова немного остывает.
Таким образом средняя температура кипящей воды не меняется, но в каждой отдельной точке она постоянно колеблется от чуть больше до чуть меньше температуры кипения.
Если мы говорим об обычной воде, в которой присутствуют растворенные газы, например, то эти колебания очень незначительны, где-то в районе десятых долей градуса. Для сверхчистой воды эта разница намного больше, но и кипение происходит почти мгновенно по всему объему и напоминает взрыв.