Как, например, начать просмотр фильма на Яндекс.Станции и потом продолжить на другом телевизоре с подключенным Яндекс.Модуль?

Здравствуйте! Модуль и Станция — это 2 независимых друг от друга устройства (за исключением работы в тандеме). Если вы везде авторизованы под одинаковым аккаунтом, то сможете продолжить просмотр с того места, где остановились.