Конструкция "и поэтому" сама по себе не выделяется знаками препинания. Чтобы легче было понять, нужна ли там запятая, нужно рассмотреть предложение без этой конструкции.
Я не хотел её беспокоить в столь ранний час_ аккуратно вышел из комнаты и пошёл в свою спальню.
[не хотел беспокоить] [вышел] и [пошел] - это однородные члены предложения, сказуемые.
А согласно правилу, если конструкции "и поэтому", "именно поэтому" стоят между однородными членами предложения, то запятая перед этими конструкциями не ставится.
Правильно будет написать:
Я не хотел её беспокоить в столь ранний час и поэтому аккуратно вышел из комнаты и пошёл в свою спальню.