Тут такая вещь, Василий:
Если человек, у которого Вы купили автомобиль, окажется бесчестным, то не имея на руках договора купли-продажи, Вам не удастся доказать фвкт совершения сделки (покупки авто).
Кроме того, Вы не сможете совершить правоустанавливающие действия по транспортному средству (поставить авто на учет и сделать своей собственностью).
И потом, Вы уверены, что автомобиль принадлежал продавцу? Если о нем нет упоминаний в документах?
Как тут быть:
Следует, чтобы продавец авто, как-либо подтвердил право распоряжения транспортным средством и передал Вам либо доверенность на себя от реального (указанного в документах) собственника или предоставил договор купли-продажи на себя.
Найти контакты реального собственника и договориться о составлении ДКП или генеральной доверенности на Ваше имя.
После, в 10-ти дневный срок переоформить авто на себя.
И ответ на Ваш вопрос:
Да, ездить Вы можете, добавив себя в страховку автомобиля. Или, если ОСАГО с неограниченным числом лиц, допущенных к управлению, то делать ничего не нужно.