Почти во всех крупных библиотеках есть компьютеры. Это фактически единственный бесплатный вариант. Например, в библиотеке им. Некрасова 9 компьютеров на первом и 20 на втором этаже, на них можно работать до 3 часов, если нет очереди. В библиотеке им. Тургенева есть медиатека с компьютерами - тоже можно занять до 3 часов.
Но, конечно, никто не гарантирует, что очереди не будет и будут свободные машины.
Более надежный вариант - коворкинг. Ищите по запросу "коворкинги с компьютерами в Москве", "коворкинг со стационарным компьютером в Москве". Цены начинаются от 700 руб. в день. Преимущество - компьютер можно забронировать на определенное время, у него хороший Интернет и приличный набор программ для работы - например, полный рабочий MS Office.
Интернет-кафе в Москве сейчас все приспособлены для киберспорта, это не вариант для работы.