Если кошка с самого маленького возраста не приучена к шлейке и поводку, то это плохая идея, кошка испытает сильнейший стресс. Это не собака, и очень маленький процент кошек будет испытывать радость от таких прогулок, так как это зверь свободолюбивый и если уж и гулять, то в одиночку и никак не на поводке.
Если всё-таки ваша кошка оценила ваше желание гулять с ней положительно, то она должна быть привита (!), с действующей вакциной (т.е. каждый год животное прививается и год вакцинация считается активной).
Не стоит гулять, где есть собаки. Во многих московских парках вход с собаками запрещён, так что думаю для вас это лучший вариант.