Есть такое утверждение среди историков, что если бы не Тамерлан, то России не существовало бы вообще. Так ли это?

Странное утверждение. Тамерлан конечно помог ослабить Золотую Орду. Но процессы централизации на обломках древней Руси начались еще раньше. Иван I Данилович Калита, начал свое правление в Москве в 1325 г., Тамерлан родился в 1336 г., а стал правителем только 1370 г. Но именно правление Калиты (1325-1340 гг.), который откупался от Орды, помогло вырастить в Московском княжестве поколение мужчин, не знавших разорения и угона в полон славянских рабов. С этого и началось постепенно возрождение русских земель. Что касается Тамерлана, то его борьба с Золотой Ордой не помешала ни походу Мамая на Русь (1380г.) ни разорению Москвы Ордой (в 1382 году), когда была возобновлена выплата дани Золотой Орде. Решающий же поход Тамерлана на Золотую Орду, который привел к упадку торговых путей и экономическому закату Орды, произошёл в 1390-е годы. В целом Орда неминуемо должна была пасть по причинам того, что кочевые в принципе монголы с клановым управлением, связанные только законом и авторитетом Чингисхана, не могли долго управлять огромными территориями. В случае Руси им подчинилась область с более высоким культурным уровнем, но при этом хуже организованная в военном и экономическом плане. Сами же завоеватели и способствовали централизации Руси и возникновению единого государства, выдавая ярлыки на великое княжение для удобства сбора дани и жестко вмешиваясь в конфликты, карая часто и правых, и виноватых. Этим эффект от  раздробленности уделов был отчасти снижен, а в самосознании народа закрепился единый образ врага, не соседа, а пришлого чужака, который грабит и уводит в рабство. В 1380 г. св. Дмитрий (Донской) показал , что врага можно разбить в открытом бою. Еще через столетие, Московская Русь прекратила выплаты дани Орде, а потом, уже при Иване IV Васильевиче (Грозном) ликвидировала последние остатки Золотой Орды на Востоке - Астраханское и Казанское ханства. Окончательная же победа над Ордой произошла только в ХVIII в., когда русскими войсками был ликвидирован её последний улус - Крымское ханство.

Так что лично мой вывод - Тамерлан и его империя безусловно внесли свой вклад в ослабление Золотой Орды, но погибла эта Орда в целом скорее от внутренних причин, куда я отношу клановое устройство общества, кочевой характер народа, слабость установлений Чингисхана у его потомков, первоначальное отсутствие единой религии, непрочность государственного устройства и пагубность политики в отношении древней Руси (вместо ослабления княжеского института и ослабления Церкви монголы способствовали их укреплению).