Есть ли в США аналог нашего ЗАГСа и церемонии росписи?

Примерно да.
В каждом штате - разныте правила, попробую обобщить.
Сначала пара, желающая вступить в брак, идет в местный экивалент ЗАГСа (в зависимостаи от штата он может называться офис городского клерка, бюро записей, и т.п.) и получают лицензию. В некоторый штатах в лицензию вносят только имена и возраст ; в некоторый же - и место рождения, и имена и места рождения родителей, и состояние в браке (ранее не женат / вдов / разведен) и анализ крови на сифилис а спид (пожет уже всюду отменили). В некоторых штатах, один из вступающих в брак должен жить в штате какое-то время. Эта церемония включает подписывание бумаг, но обычно не очень торжественная.
Получив лицензию, в большинстве штатов можно заключить брачный договор только через какое-то время (например, 1 день).
Само заключение брачного контракта - обычно торжественная церемония . В принципе, есть два выбора. Если в том же экивалента ЗАГСа (вот чьё-то 

www.youtube.com/embed/WzBAaFfXNvo?wmode=opaque

показывает, как это делают в НЙ) , то да, будет торжественное подписание всяких бумаг. Если в церкви, синагоге, и т.п. то человек, лицензированный штатом, и проводящий церемонию (т.е. священник, раввин, и т.п.) потом посылает все бумаги в экивалент ЗАГСа.