Нет.
"Вникнуть" происходит от того же слова, что слова типа "низ", "ниц" (падать ниц), "ничком" и так далее.
А суффикс "ник" получился как соединение нескольких частиц, которое произошло аналогично, скажем, слову "вареник": варить - вареный - вареник, с той разницей, что "ен-ик" в этом слове остались двумя суффиксами, а вот другим вариантам не так повезло. Например грешить - грешънъ - грешъникъ. Когда вот эти все "ъ" потеряли звук, суффиксы типа -ьникъ- или -ъникъ- сократились до простого "ник" и стали самостоятельной морфемой.
Так что схожесть этих двух ников - просто историческая случайность)