Ноль как кардинальное число (мощность множества, количество элементов множества) единственен. Когда мы говорим о количестве чего-то мы как раз говорим о кардинальных числах. Ноль, например - это мощность множества mt, один - множества {mt}, два - множества {mt, {mt}}, а три - мощности множества {mt, {mt}, {mt, {mt}}}, где mt - пустое множество.
Сами числа, получающиеся в результате процедуры счета можно представить как классы эквивалентности, что 1, например, это класс эквивалентности, который как представителя содержит множество {mt}, а также все множества ему равномощные (такие, что для них существует биекция на {mt}). Для нуля же, окажется, что существует вообще единственный представитель класса эквивалентности - само множество mt.
Другое дело, если мы выходим за рамки натурального счисления. Там у нас возникают, например, целый ноль, дробный ноль, вещественный ноль, комплексный ноль. Отождествляем мы их в смысле чисел поскольку для всех этих конструкций существуют канонические вложения Nu{0} в Z,Q,R,C, причем канонические вложения согласуются так, что цепочка канонических вложений:
Nu{0}->Z->Q->R->C,
где каждая -> суть каноническое вложение - в композиции также дают канонические вложения.
Однако, здесь примечательно вложение 0 в поле С. Дело в том, что С опрежедяется как векторное пространство R² с определенными операциями, согласованными опредеденным образом, а вложение R->C в нашем обычном смысле "забывает" о понятии количества. Если вещественные числа отображают наш взгляж на бесконечно делимые объекты, то комплексные числа уже стирают наше обычное представление о количестве.
Одновременно с этим, мы понимаем, что когда мы говорим о нуле в R³ и нуле в R⁴, то под первым мы подразумеваем тройку (0,0,0), а под вторым - четверку (0,0,0,0), что вообще говоря, делает их разными, их можно различить. Даже не смотря на то что R² можно вложить в R³, а R³ в R⁴, так, что (0,0) перейдет в (0,0,0), а (0,0,0) в (0,0,0,0), тем не менее мы понимаем, что изначально - это все же разные нулевые векторы.
Так что ноль в математике определенно не один, однако, 0 как число все-таки, вроде как, один единственный.
-------------------
Я бы здесь различал три различных стандартных использований в обычной жизни:
1) ноль из кардинальных чисел (мощность пустого множества, он же "натуральный ноль")
2) ноль как статистическая оценка непрерывной величины (потому что строго говоря, в бесконечно малых в обычной жизни мы не исчисляем на самом деле - мы часто делаем округление до нуля "достаточно малых" величин.)
3) ноль как символ или "заниматель места" (сюда же относится и использование векторов), когда мы хотим подразумевать, что этот параметр мы мерям и когда-нибудь намереваемся, чтобы он стал занят.
И если эти три нуля строго математизировать это довольно разные штуки.
‐-----------------------
UPD:
Если мы говорим о мощности именно множеств, то ноль один и тот же.
Если же мы говорим о нуле яблок, подразумевая, что вообще говоря, мы еще будем считать апельсины и вообще у нас есть система, например, с двумя параметрами, то отображение того, что яблок 0 штук можно воспринять как принажлежность состояния системы к "гиперплоскости" (0,x) или (x,0), где x - число апельсинов (ну и вообще прочие показатели всей системы).
Тогда если число яблок 0 - принадлежность (0,х), а число апельсинов 0 - принадлежность гиперплоскости (x,0). (Ну или наоборот, в зависимости от изначально выбранного порядка.
Соответственно, относительно системы уже нули будут разными.
Здесь, видимо, стоит считать, что это одно из эмержентных свойств систем, которые возникают только в системе, но не объясняются компонентами его составляющими.
А в понимании обыкновенной жизни нули здесь являются "местодержателями".