Доказательства, как правило, требуются для подтверждения неочевидных, спорных тезисов. В случае с душой именно ее существование (и, так сказать, "природа", сущность, бессмертный статус) не является очевидным и в большинстве случаев скептики требуют доказательств как раз того, что душа существует и бессмертна. Так что Вам, Константин Воробьев, следовало бы пояснить, что Вы подразумеваете под "доказательством смертности души".
Из последних в рубрике "Философия" споров о душе (правда в зеркальном Вашему вопросу формате) можно посмотреть https://thequestion.ru/questions/343950/mozhet-li-umeret-dusha/answer/483063#/