Если женщина была заграницей, и начала рожать, то ребёнку дадут гражданство той страны, в которой он родился? Можно ли вообще рожать в других странах?

Только начала?.. а надо б и до конца довести начатое.

Это так называемое право земли. Работает в меньшинстве существующих стран. В основном в государствах Северной и Южной Америки, вкл США и Канаду.