Если с обычными степенями всё понятно 2³=2•2•2, то как понять степень 2½ или 2-²? Можно ли это как то объяснить как в обычных степенях?

Есть арифметическая операция возведения в целую положительную степень, которая эквивалентна умножению числа на само себя количество раз, равное показателю степени, то есть:
x^n = (x*x*...*x) n раз, где n - целое положительное (т.н. натуральное) число.
Это считается очевидным исходя из результатов возведения в натуральную степень целых чисел.

В принципе есть две неочевидные вещи (и одна очевидная), которые на уровне арифметики придется просто запомнить:
x^0 = 1
x^(-1) = 1/x
x^1 = x, но с этим обычно нет проблем, как-то это и так понятно.

Далее мы можем представить отрицательные степени (будем считать, что x>1, поскольку именно этот случай вызывает затруднения):
x^(-n) = x^(-1*n) = (x^(-1))^n = (1/x)^n ( = 1/(x^n) )
Иными словами x^(-n) - это число, которое получается при возведении 1/х в n-нную степень.

Дробные степени можно представить так:
x^1 = x^(n/n) = (x^(1/n))^n
Иными словами x^(1/n) - это число, которое дает х при возведении его в n-нную степень.

Дробные отрицательные степени получаются как комбинация двух предыдущих случаев (полный вывод с ущербным функционалом сайта неудобно писать - будет очень много скобок и крышечек, но идея понятна). 

Есть более сложная штука x^r, где r - произвольное действительное число. В этом случае в качестве r может попасться и иррациональное число. Арифметически такую операцию нельзя будет представить никак, но можно наглядно представить геометрически: график функции y(r) = x^r будет выглядеть так: от -бесконечности к нулю он идет как возрастающая асимптота от нуля, доходит до значения 1/х в точке r=-1, потом в r=0 становится равным 1, а потом возрастает к +бесконечности при стремлении r к +бесконечности (мы по прежнему считаем, что наш х>1). Если нам известно с некоторой точностью приблизительное значение интересующего нас иррационального числа r, то мы можем с этой же точностью найти значение x^r на этом графике.