Если ребёнок родился 14 апреля, а заявление на пособие я подала 8 мая, мне выплатят за апрель и май сразу или только за май?

Да, вам выплатят за апрель.

Вот полный текст документа - https://www.garant.ru/products/ipo/prime/doc/73773992/

2. Ежемесячная выплата в размере 5000 рублей осуществляется в апреле - июне 2020 г. лицам, проживающим на территории Российской Федерации и имеющим (имевшим) право на меры государственной поддержки, предусмотренные Федеральным законом "О дополнительных мерах государственной поддержки семей, имеющих детей", при условии, что такое право возникло у них до 1 июля 2020 г., на каждого ребенка в возрасте до 3 лет, имеющего гражданство Российской Федерации.

3. Ежемесячная выплата осуществляется за полный месяц независимо от даты рождения ребенка в конкретном месяце.