Если приобретает меньшую плотность при высокой температуре, означает ли это, что в нагретой емкости воздуха будет меньше, чем в охлажденной?

Утверждение о непременном снижении плотности воздуха при нагреве в общем случае неверно. Оно неявно предполагает постоянство давления, что не всегда выполнимо. Если достаточно сильно повысить давление, можно повысить плотность, несмотря на нагрев. Если давление повысить пропорционально абсолютной температуре (в Кельвинах), можно обеспечить постоянство плотности.

Ответ насчет плотности нагретого воздуха в некой емкости зависит от герметичности емкости и изменчивости ее объема.

1. Если емкость сообщается с внешним миром, то нагрев вызовет рост давления, избыток давления вызовет направленный поток воздуха наружу (будет еще и обусловленное температурой усиление диффузии наружу по сравнению с диффузией извне, но это - поправка третьего порядка малости) и внутри емкости останется меньше воздуха, чем было. А давление снизится до внешнего. Это ситуация нагрева при постоянном давлении. 
2. Если емкость герметична и объем ее неизменен, то нагрев вызовет рост давления внутри емкости, но оттока воздуха не будет. Количество воздуха в емкости и его плотность не изменятся, несмотря на нагрев. Дальнейший нагрев и рост давления рано или поздно разорвет емкость. Это ситуация пропорционального роста давления с температурой. 
3. Промежуточный вариант будет наблюдаться для герметичной емкости переменного объема. Это может быть емкость с эластичными стенками (воздушный шарик, например) или с неэластичными, но из материалов, расширяющихся при нагреве. Количество воздуха не изменится (герметичность), давление возрастет в меньшей мере - из-за роста объема, а плотость воздуха снизится - из-за роста объема, но не так сильно, как в негерметичной. Это ситуация роста давления, отстающего от роста температуры. Отставание определяется эластичностью и/или термическим расширением стенок емкости.