Если я подключу Яндекс.Станцию Мини к саундбару по AUX и в то же время саундбар к телевизору по HDMI, то будет ли всё корректно работать?

Так как AUX подразумевает только аудио выход, а HDMI цифровой видео сигнал то как следствие ваш телевизор будет показывать меню саундбара . А саундбар будет воспроизводить звук.