Если я инициализирую пс4, то у меня останутся аккаунты (то есть они не удалятся с интернета)? И останется ли прогресс в онлайн играх?

Удалится всё с жёсткого диска пс4.
Сама учётная запись не удалится впринципе,только с этой плойки.
Так что можешь инициализировать и не переживать ;)