Если арифметика является изучением количества, алгебра - структур, геометрия - пространства, то что изучает тригонометрия в этом смысле?

Тригонометрия, раздел математики, занимающийся специфическими функциями углов и их применением в вычислениях. В тригонометрии обычно используются шесть функций угла. Их названия и сокращения: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tan), котангенс (cot), секанс (sec) и косеканс (csc). Эти шесть тригонометрических функций по отношению к прямоугольному треугольнику показаны на рисунке. Например, треугольник содержит угол А, и отношение стороны, противолежащей А, и стороны, противолежащей прямому углу (гипотенузе), называется синусом А, или грехом А; аналогично определяются другие тригонометрические функции. Эти функции являются свойствами угла A, не зависящими от размера треугольника, и вычисленные значения были сведены в таблицы для многих углов до того, как компьютеры сделали тригонометрические таблицы устаревшими. Тригонометрические функции используются для получения неизвестных углов и расстояний от известных или измеренных углов в геометрических фигурах. Тригонометрия возникла из-за необходимости вычислять углы и расстояния в таких областях, как астрономия, картографирование, геодезия и артиллерийская дальномерность. Задачи, связанные с углами и расстояниями в одной плоскости, рассматриваются в плоской тригонометрии. Приложения к подобным задачам более чем в одной плоскости трехмерного пространства рассматриваются в сферической тригонометрии.

Это ответ на вопрос

Источник https://www.britannica.com/science/trigonometry

================================================

Раширение в комплексную плоскость sin(z) , cos(z) актуально в ТФКП

Поскольку эти ряды сходятся для всех действительных значений х, их радиусы сходимости равны ∞ , и поэтому они сходятся для всех комплексных значений z. Тем самым они определяют голоморфные функции во всей комплексной плоскости, т. е. целые функции (точнее, целые трансцендентные функции). Ряд также показывает, что синус — нечетная функция, а косинус — четная функция. Расширение сложных экспоненциальных функций e^(iz), e^(-iz) к степенным рядам и разделение четных и нечетных степеней дает обобщенные формулы Эйлера

Сложение, вычитание и умножение этих двух формул дает соответственно две формулы Эйлера