На Земле пройдёт 8 лет, а на борту корабля неделя. Никаких противоречий тут нет. Космонавт на корабле постареет меньше, чем человек, который останется на Земле.
Замечу, что обоснования этого явления зависят от точки зрения наблюдателя. Для человека на Земле время в ракете будет идти медленнее из-за её движения с большой скоростью в течение 8 лет. С точки зрения ракеты Земля конечно тоже двигается, и казалось бы время на ней тоже должно идти медленнее. Это правда, эффект симметричный! Но с точки зрения ракеты пройдёт всего неделя, а значит и эффект будет меньше.
Почему неделя? Из-за эффекта сокращения расстояний, думаю вы слышали. С точки зрения космонавта лететь до Проксимы будет намного ближе. Не шучу =). Спросите у частиц мюонов, которые образуются в верхних слоях атмосферы и успевают долететь до поверхности Земли гораздо быстрее, чем нам кажется.
Однако главное значение будет иметь не скорость движения, а ускорение ракеты. Причём самое важное происходит не в момент разгона, а в момент разворота ракеты (ну или её торможения), когда она находится далеко от Земли. В общей теории относительности при ускоренном движении время в разных точках системы идёт по разному. Чем дальше впереди по ходу ускорения находится объект, тем быстрее там течёт время. Для пояснения смотрите на картинку, которую я прикрепил. Количественно оба объяснения дадут одинаковый результат - в ракете пройдёт меньше времени, чем на земле.
Для лучшего понимания вам нужно изучить специальную (СТО) и общую (ОТО) теории относительности.
Подобных экспериментов ещё никто не проводил, а прямой вопрос по логические противоречия подобного утверждения физика отвечает уклоничиво, ссылаясь на практическое отсутствие в природе инерциальных систем отсчёта.