Исторически, комплексные(в частности, мнимые) числа появились при попытке решения кубических уравнений. Для их решения была получена формула Кардано, в которой присутствуют квадратные корни. Проблема появилась, когда оказалось, что даже при решении этой формулой уравнений, у которых все корни действительные, иногда под корнями появлялись отрицательные числа. Тогда пришлось ввести число i, квадрат которого -1 и все мнимые и вообще комплексные числа вместе с ним. (При аккуратной работе с ними в итоге мнимая часть сокращается, когда все корни действительные). Кроме того, оказалось, что с помощью комплексных чисел очень удобно описывать разные штуки на плоскости. Так, например, прибавления комплексного числа - параллельный перенос, а умножение - поворотная гомотетия.