Мнимые числа появились тогда, когда математики начали решать кубическое уравнение. Оказалось что один из корней действительный, а ещё два комплексные. КомплЕксное же число представляют собой сумму действительного числа и числа, умноженного на мнимую единицу.
Z=a+ib
i - квардатный корень из минус единицы.
i=sqrt(-1)
Комплексные числа широко применяются в разделах прикладной физики - например, в электротехнике. Как известно, мы используем переменный ток в повседневной жизни. По названию понятно, что он изменяется, причём синусоидально с течением времени. Это легко можно представить на графиках векторами на плоскости, а чтобы ввести плоскость мы, как раз-таки, и используем комплексные числа. То есть у нас положительное действительное направление будет как ось х, а положительное комплексное направление как ось у.
Благодаря комплексным числам нам проще представлять значения токов и напряжений, изменяющихся по времени. Мы наглядно можем увидеть направление, длину вектора, разность фаз(угол между векторами).
Конечно,в жизни увидеть или посчитать мнимые числа мы не можем, но они сильно упрощают расчёты электрикам, физикам, математикам и многим другим учёным. Наши маленькие незаметные помощники с буковкой i
Дерьмовый ответ.
Исторически, комплексные(в частности, мнимые) числа появились при попытке решения кубических уравнений. Для их решения была получена формула Кардано, в которой присутствуют квадратные корни. Проблема появилась, когда оказалось, что даже при решении этой формулой уравнений, у которых все корни действительные, иногда под корнями появлялись отрицательные числа. Тогда пришлось ввести число i, квадрат которого -1 и все мнимые и вообще комплексные числа вместе с ним. (При аккуратной работе с ними в итоге мнимая часть сокращается, когда все корни действительные). Кроме того, оказалось, что с помощью комплексных чисел очень удобно описывать разные штуки на плоскости. Так, например, прибавления комплексного числа - параллельный перенос, а умножение - поворотная гомотетия.
Мнимые числа нужны, чтобы получить возможность решать уравнения вида x^2 = -1. Удобно, у всех уравнений энной степени получается N корней. Но это ещё далеко не всё! Оказалось, что если рассмотривать математические задачи с помощью комплексных чисел, то часто находится простое и красивое решение, которое чрезвычайно трудно найти если пользоваться только действительными. Например, комплексные числа предоставляют мощнейщий инструмент для вычисления сложных определённых интегралов.