Даже спокойно поднимаясь по лестнице на 3 этаж, сердце начинает усиленно биться. Нормально ли это?

Хм. Информации крайне мало, но возможно, это тахикардия. В ней нет ничего смертельно ужасного, однако если у Вас это регулярное явление, оно может привести к патологической тахикардии, которая даёт головную боль, упадок сил, остановку сердца, головокружение, гипер- и гипотонию, аритмию, тошноту, стенокардию. Тахикардия — не болезнь, а симптом. Собственно, тахикардия бывает двух видов:

• физиологическая (нормальная) — частота сердечных сокращений увеличивается при физических нагрузках, болезни или стрессе;
• патологическая — сердечный ритм превышает норму (≈60-90 ударов в минуту), когда человек находится в состоянии покоя
  Если есть давящие, неострые боли, отдающие в левую руку, под лопатку, это признаки стенокардии. Стенокардия ведёт к инфаркту.

Я тут саспенса нагнала, конечно, но не так страшен чёрт, как его малюют. Обратитесь к участковому кардиологу, не запускайте проблемы сердечно-сосудистой системы, лечить последствия куда сложнее, чем упредить болезнь.