Говоря простым языком, раньше людям казалось, что множества - это такое простое и очевидное понятие, которое можно определить "на пальцах" и все будет хорошо. Но оказалось, что не хорошо, и можно придумать парадоксы. Пришлось, как и в других областях математики, даже для "очевидных" вещей вводить формальные и строгие определения, аксиомы, и строить аккуратную теорию.