Что такое дифференциал?
Здравствуйте, знатоки! Пожалуйста, объясните мне, что такое дифференциал настолько простым языком, насколько возможно. Проблема в том, что я просто не понимаю определение из учебников: "Дифференциалом называют линейную часть приращения функции". Я только в 6-м классе, не к кому обратиться, а в интернете только вышеназванное определение.
Очень нужно. Без понимания дифференциала я не смогу продвинуться дальше интегралов. Смогу, конечно, интегрировать, но не пойму этот "dx" в записи.
Шестой класс и дифференциалы? Жесть какая))
Простите мой кривой пэйнт, мне лень запускать что-то для нормального рисования, но думаю, мы друг друга поймём.
Вот есть какая-то функция.
Допустим, у нас путешествие по функции от точки 1 до точки 2. Мы меняем координату от х1 до х2. Это Δх:
При этом результат нашей функции меняется от y1 до y2. Это Δy:
А теперь посмотрим, что было бы, если бы у нас функция была не такая сложная, а равномерная - то есть, прямая, причём растущая с такой же скоростью, с какой она растёт в точке №1 (то есть, просто нарисуем касательную).
Изменения величин обозначим не дельтой, а буквой d - просто для того, чтобы их различать.
Изменение по х осталось таким же: Δх = dx
А вот изменение по y - довольно сильно изменилось. Δy ≠ dy.
Вот, собственно, dy - это и есть дифференциал, линейное приращение функции. Простыми словами - на сколько бы увеличилась функция, если бы она прямой линией, проходящей через эту точку с этой же скоростью увеличения.
Для чего он вообще нужен? В нашем примере разница между Δy (приращением функции) и dy (дифференциалом функции) огромная - вот я её зарисовал зелёной кистью:
Естественно, для каких-то расчётов таким пользоваться нельзя. Но если мы возьмём не такое большое движение по оси х, а уменьшим его, то и разница между этими двумя величинами сильно сократится:
И чем меньше будет Δх (или dx), тем меньше будет эта разница. То есть, на маленьких участках функции (когда Δх стремится к нулю) можно считать, что Δy ≈ dy. Это очень серьёзно упрощает всякие сложные расчёты - просто потому что считать через приращение прямой гораздо проще, чем через приращение более заковыристых линий.
В записи интегралов, соответственно, dx означает то же самое - что мы ведём расчёт на участке dx, то есть, между точками x1 и x2.