Что представляет из себя «геометрия Лобачевского» простыми словами?

Ответ на этот вопрос будет состоять как минимум из трех частей. Большинство вряд ли захотят дочитать такое до конца. Поэтому:

1. Самый простой (в смысле упрощенный). Разница между "геометриями" заключается в том, какую именно модель пространства они описывают. Традиционная "Евклидова геометрия" описывает пространство с нулевой кривизной. Наиболее понятная большинству населения и, кстати, та самая, которую изучают в школе.

Пространство с отрицательной кривизной описывает "геометрия Лобачевского"

Пространство с положительной кривизной описывает "геометрия Римана". Почему-то про нее забывают в первую очередь, хотя ей, как раз стоит больше уделять внимание.

1. Второй уровень рассмотрения предусматривает углубление в моделирование данного пространства.

Для классической геометрии - широкий простор именно из-за того, что она наиболее доступна всем через школьные учебники. Поэтому на ней остановимся более кратко. Она описывает то самое пространство, о котором нам с детства и говорили. Прямая - это нечто, уходящее вдаль бесконечно и при этом ничуть не искривляется. Именно так. Если здесь будут хоть какие-то отклонения, то вся остальная модель рушится тут же. Плоскость, как логическое продолжение развития н-мерности пространства имеет схожие свойства, но уже не в одном измерении, как прямая, а в двух. То есть бесконечна и неискривляема... И так далее. На основе этого и идут дальнейшие теоретические построения.

С геометрией Лобачевского посложнее. Тут надо представить себе этакую гладкую воронку у которой горлышко уходит (страшно подумать) в бесконечность и бесконечно при этом сужается. Именно на ней и необходимо производить построения. Ясное дело, что всё, абсолютно всё построенное, будет выглядеть несколько не так, как на плоскости. Кстати, всеобщее заблуждение, что параллельные прямые в геометрии Лобачевского пересекаются! Отнюдь! ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ В ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО БЕСКОНЕЧНО СХОДЯТСЯ. Сходятся, то есть приближаются, но не пересекаются. Да, расстояние между ними становится бесконечно мало (с точки зрения некоторого гипотетического стороннего наблюдателя), но оно остается ненулевым.

Геометрию Римана стоит рассматривать, как построения на выпуклых поверхностях. Например, на поверхности шара. В этом плане геометрические построения на поверхности Земли - не что иное, как геометрия Римана с кривизной поверхности незначительно отклоняющейся от единицы в сторону увеличения.

1. Третий уровень самый сложный, поскольку он включает в себя именно описательную часть. Попросту говоря весь теоретический арсенал.

В этом плане все три варианта геометрий начинаются практически одинаково. До пятого постулата Евклида.

Именно он стал точкой преткновения для Лобачевского. (Гаусса, кстати, напрасно при этом упоминают. Дойдя до этого места и обнаружив, что это может привести к созданию новых теорий, он отринул все свои измышления и больше к ним не возвращался. Мог создать? Да, мог. Создал? Нет, не создал.) Именно с этого места и разветвляется дорожка геометрии на три части. (ой, на три ли?)

Как следствие в трех геометриях, например, теорема о сумме углов в треугольниках выглядит по разному.

У Евклида - сумма равна 180 градусам.

У Лобачевского - сумма углов всегда меньше 180 градусов.

У Римана - сумма углов всегда больше 180 градусов.

Насколько меньше или больше зависит сразу от нескольких параметров. Во-первых от коэффициента кривизны и, во-вторых, от размеров самого треугольника.

Дальнейшее описание будет интересно только узким специалистам...