Не "математика Лобачевского", а геометрия. Если быть точнее - гиперболическая геометрия Лобачевского-Больяи (Бойяи).
Геометрия Лобачевского представляет собой альтернативную к евклидовой геометрии аксиоматическую систему. Она построена от противного, о чём детальнее будет сообщено ниже. Напомню существо проблемы: почти 2 тысячи лет люди пытались понять, выводим ли пятый постулат Эвклида из остальных аксиом геометрии, доказуем ли он как теорема. Современная формулировка пятого постулата вполне безобидна: "через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающую данную".
Николай Иванович пошёл от противного, надеясь найти противоречия в полученных отсюда следствиях. И... он их не нашёл. Он построил вполне непротиворечивую "воображаемую", как он впоследствии писал, геометрию.
Для интереса построим формально-логическое отрицание пятого постулата: неверно, что ∀х∃у∃!z ((y∩z) ∧ (z∩x)) = ø. Пришлось писать "неверно" словами, т.к. по правилам, для выражения отрицания вся формула должна находиться под чертой. Объясню символику: ∀х - читается как "для всех х", в нашем случае - для любой прямой, ∃у - существует у, в нашем случае - существует точка, ∃!z - существует только один z, в нашем случае - только одна прямая. Дальше имеем свойство: ((y∩z) ∧ (z∩x)) = ø, которое читается как "точка у принадлежит прямой z и пересечение прямых z и х равно пустому множеству". Это говорит об их параллельности.
Напомню, что по определению параллельными всегда считаются прямые, которые не пересекаются. Те, кто говорят, что 2 параллельные прямые пересекаются, пишут несусветную чушь - это противоречивое утверждение. Т.к. эти люди по сути говорят "прямые, которые не пересекаются, пересекаются".
Построим теперь отрицание пятого постулата: неверно, что (∀х∃у∃!z (((y∩z) ∧ (z∩x) = ø)) = (∃x∀y∃z (y∩z ∧ z∩x) ≠ ø) ∨ (∃x∀y∀z (y∩z ∧ z∩x) = ø)
В первом случае имеем: существуют такие прямые, что они всегда пересекаются, во втором случае, после дизъюнкции ∨ (или) имеем: существуют такие прямые, что их не пересекают все прямые.
Первый вариант даёт нам эллиптическую геометрию Римана - там нет параллельных прямых - все прямые пересекаются. Второй случай это и есть основа геометрии Лобачевского: прямых, не пересекающих данную, и лежащих с ней в одной плоскости, существует бесконечно много.
Поскольку в его времена не существовало аппарата математической логики, Николай Иванович пошёл от противного не вполне корректно - отрицая пятый постулат Эвклида он рассмотрел лишь одну логическую возможность. В его формулировке это выглядит так: "через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести более одной прямой, не пересекающей данную". Оставшийся случай позднее был рассмотрен гениальным немецким математиком, учеником короля математиков Карла Гаусса - Бернхардом Риманом (на рисунке ниже даже видно, что у Римана существует сферический треугольник с тремя прямыми углами).
Из отрицания пятого постулата в геометрии Лобачевского вытекают интересные следствия:
- Сумма углов любого треугольника строго меньше 180°. 2. Существует треугольник наибольшей площади. 3. Множество точек, расположенных по одну сторону и на одном и том же расстоянии от данной прямой, образуют не прямую, а кривую, называемую эквидистантой. 4. Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность - предельная сфера, или орисфера; на ней реализуется уже евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул своей тригонометрии. 5. Длина окружности не пропорциональна её радиусу, а увеличивается быстрее.
Рассказать об этой геометрии ещё можно много чего, но, думается, и этого вполне достаточно. Самое интересное, что никаких противоречий впоследствии обнаружено не было ни в геометрии Лобачевского, ни в геометрии Римана. Получается, все три рассмотренные системы геометрии - евклидова и данные две неевклидовы - равноправны. Отсюда вытекает независимость пятого постулата от остальных аксиом Эвклида.
Впервые основы своей геометрии Николай Иванович изложил в 1826, 1828 и 1829 годах. Потом ещё раз в 1835 году, издав "Воображаемую геометрию". Примерно в это же время к аналогичным результатам пришёл молодой венгерский математик Янош Бойяи.
Существуют следующие модели геометрии Лобачевского:
Модель Пуанкаре. Тут полуокружности играют роль неевклидовых прямых.
Вторая модель Пуанкаре:
Модель Бельтрами - псевдосфера.
Проективная модель Бельтрами-Клейна. Точки пересечения прямых лежащих в круге, принадлежат окружности. Потом окружность просто отбрасывается на бесконечность. Остаются бесконечно много прямых, которые не пересекаются в плоскости. Поэтому модель и проективная, т.к. пространство пополнено бесконечно удалёнными точками.
Почитать об этих моделях ещё можно тут: https://elementy.ru/problems/1333/Modeli_geometrii_Lobachevskogo
Следует также добавить, что геометрия Лобачевского реализуется в пространствах отрицательной кривизны - это пространства "вогнутые", если можно так говорить. Например, эта геометрия прекрасно реализуется на гиперболоидах и прочих седловидных поверхностях (кстати говоря - диссертация Гриши Перельмана также была о седловидных пространствах).
И ещё нюанс - когда мы говорим о кривизне, это оправдано только если пространство, в котором данная геометрия реализуется, вложено в евклидово пространство. В противном случае говорить о кривизне бессмысленно.
Напоследок прикреплю несколько фотографий из дома-музея Н.И. Лобачевского в г. Казань:
Его кабинет. Да, он за стеклом.
Различные модели геометрии Лобачевского:
Огромное спасибо! Надеюсь, получится разобраться в терминах и формулировках)