Математическая культура — это представление о математической науке, её методах и результатах, и понимание того, какие вопросы для неё важны, интересны и вообще осмысленны, а какие — нет.
Математическая культура позволяет понимать красоту математических теорий. Хочется привести какой-нибудь пример, но примеры могут быть очень разные для разных уровней математической культуры, и вообще это вопрос довольно субъективный.
Проще от противного: недостаток математической культуры может привести, например, к тому, что человек недооценит математику и математиков и сочтёт, что может элементарными методами на двух страницах решить вековую математическую проблему.
Развивать математическую культуру — читать книжки, смотреть видосики. Популярные математические и по истории математики. Сначала попроще, потом посложнее (популярные, но написанные профессиональными математиками). Мартин Гарднер, Иэн Стюарт, паблики типа The Beauty of Truth, «Простая одержимость» и другие изданные при поддержке фондов «Династия» и «Эволюция» математические книжки, Библиотека «Математическое просвещение», другие книжки издательства МЦНМО.