Попробуйте двигаться задом наперёд. Пусть вас просят доказать параллельность двух прямых. Значит последним шагом будет применение какого-то из признаков параллельности. В признаках параллельности активно используется равенство разнообразных углов. Значит надо поискать, почему они могут быть равны. Это чаще всего вылезает из равенства или подобия треугольников. Ищем на картинке подходящие треугольники. Ну и так далее, пока не доберемся до условия.
Есть ещё оверкилл: решать задачи с применением аналитической геометрии. Выбираем удобную систему координат, выписываем уравнения всего, что есть в задаче, ищем уравнения того, про что спрашивается. В большинстве случаев таким образом геометрические задачи решаются вообще без применения мозга, чисто техническими преобразованиями уравнений.