Что будет с квартирой одинокого человека после его смерти?

Я не юрист, но насколько знаю, если у человека совсем нет родственников, и в завещании по этому поводу ничего не сказано, или завещания вообще нет, то вся собственность переходит в распоряжение государства (читай - местной администрации), и потом будет продана, а деньги уйдут в бюджет. Но для начала нужно провести, по-хорошему, расследование и доказать, что наследников точно нет, а не так, что они просто не в курсе своего счастья. Как всё в юриспруденции, это тема сложная и муторная. Читайте, что такое выморочное наследование. Бывали случаи, когда приходилось возращать имущество обратно, т.к. всё же находились наследники. 

Лично мне очень сложно представить человека, у которого нет вообще ни одного родственника, даже дальнего, кому бы не пригодилось такое наследство. Тем не менее, такое случается. Нередко наследники просто тупят и не успевают подать документы в установленный срок, но право наследования можно восстановить в суде заново, если причина веская.

Update 1. В комментариях правильно отметили, что у выморочного имущества, помимо проблем с определением наличия наследников, есть ещё другие моменты - придётся выплатить все долги и оплатить расходы на похороны бывшего собственника. Так что никто в администрации не горит желанием присвоить себе чужое имущество. Есть более простые способы пополнить бюджет (и карманы чьи-то), но никто не будет отказываться от имущества, которое уж точно никому не нужно больше.