Что больше? Бесконечность или две бесконечности?

Давайте сначала разберемся, что такое бесконечность и что такое больше.

Существует понятие бесконечности (со знаком плюс или минус) как элемента расширенного множества действительных чисел. Как известно, действительные числа очень классные: их можно складывать, умножать, делить и вычитать, можно сравнивать между собой. Расширенное множество действительных чисел, если в нем есть две бесконечности: плюс и минус, похуже: сравнивать там числа еще можно, но вот складывать и выполнять другие арифметические операции уже нельзя. Зато есть другие классные свойства. Так что если понимать вопрос так, то, конечно, смысла он не имеет.

Давайте относиться к бесконечности как к количеству элементов некоторых множеств, иначе оно называется "мощность". Например, мощность множества струн на балалайке равна 3, а мощность множества всех натуральных чисел - вожделенная бесконечность. Если мы вдруг захотим взять все действительные числа и попытаемся однозначно сопоставить каждому из них ровно одно свое натуральное число, то с удивлением обнаружим, что, хоть натуральных чисел бесконечно много, кончаются они всегда раньше. Это утверждает теорема Кантора. Впрочем, мы отвлеклись. Главное, что мощность множества может быть и числом, и бесконечностью, и даже совсем неприлично огромной бесконечностью. Понятно, что мощности - это не совсем числа: бесконечные числа мы не умели складывать, а теперь, смотрите, объединим два множества, а их мощность окажется суммой их мощностей. "Числа", которые обозначают мощность множества, мы называем кардинальными. Как мы убедились, среди них есть бесконечность, их можно складывать. Осталось научиться сравнивать.

Это уже по-настоящему сложно. Нужно ввести понятие вполне упорядоченного множества, ординалов, доказать десяток-другой свойств. Материала там на две-три полуторачасовые лекции. Что уж, наше определение кардинала очень и очень карнавально. Обмолвимся лишь, что ординалы это множества. Для вообще любого множества А есть такой ординал О, что каждому элементу из А можно сопоставить элемент из О, причем все элементы О будут заняты. Кроме того, для любых двух ординалов один содержит все эелементы другого. Вот тут мы подобрались к сравнению. Кардинальное число ординала A больше кардинального числа кардинала B, если А включает в себя B.

И еще. Ординалы можно складывать, и это совсем не объединение их как множеств. Вот если сложить один бесконечный ординал и другой бесконечный ординал, получится третий, и он уже будет включать в себя все элементы первых двух ординалов! Здесь сложение связано с порядком напрямую: если сложить два ординала, то сумма будет больше каждого из них, ну или по крайней мере не меньше.

Вот мы и подобрались к ответу на вопрос. Я извиняюсь, если объяснение было слишком путаным. Но зато вот ответ в чистом виде: да при определенной постановке вопроса две бесконечности больше одной. При другой постановке он может попросту не иметь смысла, но вот придумать такую постановку, что одна бесконечность окажется меньше двух таких же, я не могу.