Первое, что случится - воздух затвердеет. Для каждого входящего в его состав газа необходимое давление будет слегка различающимся, но в целом это случится при комнатной температуре где-то в районе 50000 атмосфер.
При более высоких давлениях для компонентов воздуха возможны разнообразные химические превращения. Например, при давлении в районе 100000 атмосфер кислород состоит уже не из молекул О2, а из молекул О8, в которых атомы расположены в вершинах параллелепипеда. Вариантов на самом деле очень много, перечислять их все тут я не буду.
Ещё дальше мы попадаем в область чистого воображения, достаточно прочных прессов не бывает. Вероятнее всего, в какой-то момент давление станет достаточно большим, чтобы запустить термоядерные реакции и вместо воздуха получится кусок железа. Ещё дальше мы вдавим электроны в ядра и возникнет микроскопическая нейтронная звезда. Ну и в конце концов мы получим черную дыру.