Чем занимается государство? Какие оно имеет обязанности? Что делать населению в случае, когда государство не приносит пользы?

Государство это общественный договор. Договор сам по себе ничем не занимается и обязанностей не имеет. :) Но в нем прописаны права и обязанности лиц, в нем участвующих. В разных странах устроено по разному, но обычно есть некий верховный документ называемый Конституцией, где и прописываются права и обязанности верхнего уровня.
Если договор не приносит пользы, его отменяют. Но я не могу вспомнить ни одного общества, где отмена государства принесла бы большую пользу, нежели его сохранение. Если граждане не видят пользы от государства, скорее всего они не туда смотрят, попросту говоря слепы.