Кирилл Еремин дал развернутый и детальный ответ. Я же попробую сформулировать ответ "для чайников", которых может испугать избыток специальной терминологии в ответе уважаемого эксперта.
Главное в живой клетке - это наследственная информация - ДНК. ДНК - это молекулярная инструкция указывающая клеткам "как жить" - какие белки производить, какие биохимические процессы с помощью этих белков запускать. Передача ДНК от родительской клетки к дочерним приводит к тому, что клетки-"дети" похожи на родительскую клетку.
Так вот ДНК в клетке может свободно плавать в цитоплазме или же быть изолирована в отдельном "отсеке" - который называется "ядро". В первом случае - это будет прокариотическая клетка, во втором - эукариотическая (ядерная). Эволюционно прокариотические клетки появились раньше эукариотических, однако все прокариотические организмы так и остались одноклеточными. В то время как на основе эукариотического типа клеток сморги развиться как одноклеточные так и многоклеточные организмы. Типичным примером прокариотических клеток являются клетки бактерий, в то время как клетки растений, грибов и животных - это эукариотические клетки.
В клетках эукариот есть ядро - структура, в которой хранится вся ДНК клетки. В клетках эукариот ядра нет, и ДНК просто плавает в цитоплазме, свернутая в кольцо.
Не вся ДНК эукариотической клетки находится в ядре (митохондриальная ДНК - в митохондриях, пластидная ДНК - в пластидах).