Web-разработчик это скорее термин из прошлого. В настоящее время, веб разработка разделилась на две стороны: frontend и backend. Frontend занимается разработкой пользовательского интерфейса, и всего того, что пользователь видит на экране, а так же взаимодействие с backend'ом. Backend в свою очередь занимается разработкой всего того, что скрыто от пользователя, эта работа с данными на сервере. До примерно 2010 года, когда сайты и сервисы были не сильно сложными, backend и frontend ложились в основном на одного человека, коего и кличали web-разработчик. Сегодня же, когда все усложняется, требуется разделение ролей, дабы каждый занимался своим делом, для наилучшего результата. Тем не менее, сейчас по прежнему существуют разработчики, которые умеют в обе стороны(таких много кстати), но сейчас их называют fullstack-developer.
К примеру если открыть вакансии Вконтакте, там все еще есть вакансия Web разработчика и FrontEnd разработчика