Чем массивный объект искривляет пространство?

На этот вопрос отвечают уравнения Эйнштейна, где слева описывается геометрия пространства-времени, а справа стоит тензор энергии-импульса всей материи.

Всё разнообразие содержимого Вселенной (звёзды, планеты, облака газа и прочее) абстрагируется одним понятием — движение энергии. И это энергосодержимое описывается тензором энергии-импульса.

Уравнения поля Эйнштейна представляют собой десять дифференциальных уравнений для десяти функций метрического тензора. В целом, их смысл заключается в том, что масса, энергия, импульс, давление и сдвиговые напряжения (это всё — компоненты тензора энергии-импульса) заставляют пространство-время искривляться.

Но прежде, необходимо определиться с понятиями — что значит искривляет? Это строгие понятия и прежде, чем обращаться к уравнениям Эйнштейна с этими понятиями важно разобраться — что такое кривизна, что есть связность, что представляет собой параллельный перенос и в чём суть ковариантных производных и т.д. Вы уверены, что точно понимаете смысл озвученных слов, заложенных в своём вопросе? Если бы понимали, такого вопроса не возникло бы. А раз не понимаете — я обозначил темы, которые следует подтянуть прежде, чем пользоваться такой терминологией. В рамках ответа нецелесообразно излагать несколько соответствующих лекций или глав учебников. Для поверхностного визуального знакомства полезно ознакомиться с серией коротких видео о математике теории относительности.

Интересно заметить, что упомянутые строгие понятия лежат в фундаменте современной физики. Коэффициенты связности возникают при параллельном перенесении постоянного вектора и в рамках теории калибровочных полей толкуются как физические поля. Будь то электромагнитные силы, будь то ядерные — они описываются понятием связности. На этом сейчас зиждется вся современная физика с выходом на стандартную модель взаимодействий элементарных частиц (включая квантовую хромодинамику). Поэтому пренебрегать базой не следует, если действительно глубоко интересна физика.

Достаточно сложно апеллировать к дифференциальной геометрии без формул, но мы попробуем сформулировать некоторое отдалённое представление о кривизне, опираясь на следствия Специальной теории относительности (это фундамент современной физики). Рассмотрим трёх наблюдателей (у каждого на руках часы), двое из которых будут внутри быстро вращающейся карусели, а третий будет наблюдать за ними свысока. Это пример ускоренного движения (наблюдатели меняют направление движения) с постоянной скоростью. Почему-то по радиусу вращения наблюдателей отбрасывает от центра вращения. Будь это в космосе — можно было бы, закрыв глаза, обмануться, что это вовсе гравитация, а не вращение карусели. Пусть один наблюдатель вжат в стенку карусели, а  второй расположен близ оси вращения. И теперь один из наблюдателей по краю карусели пусть измерит длину окружности, а второй — радиус от оси вращения к краю карусели.

Третьему наблюдателю повезло — вокруг карусели неподвижно лежат линейки и он тоже может измерить длину окружности. НО! Он видит, что у ползающего с линейкой по кругу наблюдателя длина линейки уменьшилась (в направлении движения) и их измерения длины окружности не совпадут! При этом, измерение радиуса у наблюдателей одинаково — тут нет никаких лоренцевых сокращений вдоль шкалы линейки, ведь линейка не сонаправлена с мгновенным направлением движения карусели. В итоге, ускоренные наблюдатели и покоящийся сверху вычислят отличные отношения длины окружности к радиусу.

Ожидаемое 2⋅π справедливо для окружностей на плоских поверхностях. Если же нарисовать окружность на седловидной поверхности — радиальные линии будут слегка расходиться, вызывая увеличение длины окружности. И что же в крутящейся карусели искривляет пространство? Факт в том, что плоская геометрия попросту неприменима к объектам на вращающемся круге. Привычные пространственные геометрические отношения не выполняются с точки зрения наблюдателя, испытывающего ускорение. Именно ускоренное движение приводит к искривлению пространства-времени. А что с кривизной времени? Пусть один наблюдатель прижат к стенке карусели, а второй ползёт к нему по радиусу от оси вращения. Продвигаясь по радиусу — наблюдатель будет двигаться с различной скоростью (чем дальше от центра круга — тем быстрее), и, как видит наблюдатель сверху, темп хода часов прижатого к стене будет отличен от темпа хода часов продвигающегося по радиусу (в зависимости от положения вдоль радиуса). И чем дальше от центра круга — тем медленнее идут часы. Искривление времени подразумевает изменение темпа хода часов от одной точки к другой. Но почему же туда нас устремляет некая сила? Туда, где время течёт медленнее. Чем дальше от оси вращения — тем сильнее ощущается возрастающая сила, выталкивающая к стенке карусели (ускорение тоже увеличивается по мере движения по радиусу от центра). Выходит, бóльшее ускорение связано с бóльшим замедлением хода часов, т.е. приводит к более значительному искривлению времени. Прелесть в том, что гравитация неотличима от ускорения :)

Привычное нам тяготение возникает из-за гравитационного красного смещения, которое экспериментально было измерено в эксперименте Паунда и Ребки в 1959 году. Время идёт медленнее, чем ближе мы к массивному объекту. Это экспериментальный факт.

В своё время Лагранж строго математически описал движение массивных тел (пусть падающих) по единственно оптимальной среди всех возможных траекторий между начальным и конечным состояниями через идею действия. Массивное тело движется в согласии с тем, что действие оказывается либо наименьшим, либо наибольшим в точно определённом математическом смысле. Этот подход принципиально отличен от ньютоновского, однако Лагранж выстроил свой формализм, в точности воспроизводящий законы Ньютона. Подход различный, но результаты те же. В ОТО "действием" объекта становится время, протекшее для падающего наблюдателя. Движение такого наблюдателя оптимизирует собственное время, протекающее для него. Это принцип оптимального собственного времени. Скорость хода времени в любой заданной точке пространства математически называется функцией хода. Зная функцию хода, при обращении к принципу оптимального собственного времени, определяется траектория массивного тела под воздействием гравитационного поля. Мы стараемся максимизировать своё собственное время, потому нас и отбрасывает к стене в кружащей карусели. И потому мы падаем с высоты вниз. Так элегантно устроена Природа и физика вокруг.

То есть, эйнштейновские уравнения поля и принцип оптимального собственного времени заложены в фундаменте ОТО. В науке эксперимент является критерием истины. И эксперименты доподлинно показывают, что материя через уравнения Эйнштейна управляет искривлением пространства-времени, а оно, в свою очередь, управляет движением материи на основе принципа оптимального собственного времени. Так же, как электрические заряды через уравнения Максвелла управляют поведением электромагнитного поля, которое, в свою очередь, порождает силы, действующие на электрические заряды.

Ещё раз: кривизна пространства-времени описывается через метрический тензор, символы Кристоффеля, тензор кривизны Римана, тензор Риччи и скаляр Риччи. Материя же описывается тензором энергии-импульса. Самая мощная идея в ОТО лежит в постулировании эквивалентности этих понятий. Эти уравнения не выводятся, однако с невероятной точностью описывают Вселенную во множестве её гравитационных проявлений.