Чего не надо делать при решении уравнений и неравенств, чтобы получать на выходе только "правильные" корни и не подставлять?

Объясню, откуда берутся лишние корни.

Если в преобразованиях вы используете следствия, то вы лишь сужаете множество, в котором надо искать решения. Например: есть уравнение х-1=0 => x>0. Следствие верное, но полученное множество иксов все равно шире, чем то, которое нам нужно (сначала надо было искать иксы на всей прямой, теперь только положительные, а нужное множество состоит только из 1). Никто не может обещать, что выполняя такие преобразования, вы сузите множество "кандидатов на решения" до нужного.

Пользуясь таким методом можно свести множество кандидатов к конечному и просто все перебрать. Так часто происходит при решении иррациональных уравнений.

Чтобы такого не происходило необходимо выполнять равносильные преобразования, каким приведенное мной в пример не является. Это можно делать, добавляя к вашим утверждениям следствия из них. Например, если есть утверждения А и B, при этом A*B=>C, то можно добавить С. Аналогично, С можно убрать, если оно следует из других. Пример:

Решить систему:

x^2+x-6=0,

x>0;

<=>

(x-2)(x+3)=0

x>0

<=>

x=2 или х=-3 (*)

x>0 (**)

<=>

x=2 или х=-3

x=2 (здесь мы добавили следствие из * и **)

x>0

<=>

x=2 (1)

x=2 (2)

x>0 (3)

ИЛИ

x=-3

x=2

x>0

<=>

x = 2 (в первой системе 2 и 3 следуют из 1, а вторая система противоречива)