Были ли повышения в звании сразу на два или три пункта в военное время? Например, с рядового сразу до сержанта?

Было. Неоднократно.

Например

Михаил Иванович Наумов, был повышен в звании с капитана до генерала.

Си́дор Арте́мьевич Ковпа́к перед войной председатель горисполкома райцентра - в 1943 году  присвоено звание генерала.

Пётр Петро́вич Верши́гора в апреле 1942 - военный корреспондент, вроде капитан, в 1944 году присвоено звание генерала.