Роутер это специальное устройство, которое получает доступ в Интернет от провайдера и раздающий его дальше подключенным к нему кабелем или по Вай-Фай устройствам. Это центральная точка домашней локальной сети. Если отключить его от Интернета, то физический роутер будет работать и домашняя сеть будет функционировать, но вот доступа в Интернет у этой сети не будет!
Он работать может всегда, даже если у вас не оплачен Интернет. Но только в чём смысл роутера в таком случае? Ведь роутер это априори то, что даёт Интернет.