Вы не представляете, насколько этот вопрос восхитительный.
Дело в том, что слово "борщ" древнее и русских, и уж тем более, украинцев (без наезда - просто украинцы более молодая нация). Это похлёбка из такого растения как борщевик. И абсолютно у всех славян, у которых эта трава росла, есть это блюдо.
Если же мы берём это блюдо как суп со свеклой и мясом, то, опять-таки, это древняя штука, самый древний рецепт такого борща найден аж в Месопотамии у древних шумеров. Что неудивительно - не такое уж сложное дело отварить свеклу и кинуть туда мясо с приправами.
Только в девятнадцатом веке словом "борщ" стали обозначать этот самый суп со свеклой. Вот тут да - это сочетание возникло в украинском языке, откуда было заимствовано. Ну а культ того, что борщ - чисто украинское блюдо возник только во времена СССР, во имя дружбы народов.
Так что как блюдо борщ как бы ничейный (можете при желании считать его древнешумерским - но это просто первый записанный рецепт, остальные народы в это время наверняка тоже делали что-то похожее). Русские к нему имеют отношение просто потому что долгое время борщ (из борщевика) на Руси был популярен - ещё до того, как украинцы стали формироваться как отдельная нация, и борщ (из свеклы) также остался одним из самых частых блюд. А украинцы, помимо употрбления параллельно с русскими - только тем, что ошибочно дали ему название))
Поэтому эта битва с точки зрения истории, с точки зрения лингвистики - просто смехотворна, на самом деле.