Долгое время оба употребления были равнозначными. Однако, в какой-то момент в СССР решили узаконить одну норму, так что официальное название - Балашиха.
Проще всего запомнить мнемоническим стихом:
Опять идет неразбериха
Как произносят "Балашиха"
Дело не в официозе: по неправильному ударению местные сразу чужаков определяют.